一、 幂运算 (Exponentiation)

1. 基本定义

幂运算是一种关于幂的数学运算，表示为 $a^n$，其中 $a$ 称为底数 (Base)，$n$ 称为指数 (Exponent)。

• 当 $n$ 为正整数时，$a^n$ 表示 $n$ 个 $a$ 相乘：$$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ 个}}$$
• 特殊规定：
  • 任何非零数的 0 次幂等于 1：$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$
  • 负指数表示倒数：$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

2. 核心性质

幂运算是进制转换的数学基础，其核心性质包括：

• 同底数幂相乘：$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• 幂的乘方：$(a^m)^n = a^{mn}$

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二、 进制展开原理 (Positional Notation Expansion)

1. 基本概念

进制（进位制）是一种记数方式。在 $r$ 进制系统中，每一位数字所代表的实际数值，不仅取决于该数字本身，还取决于它所处的位置。这个位置对应的价值被称为权重 (Weight)。

2. 展开公式

对于一个任意 $r$ 进制数，其数值可以通过“按权展开”的方式表示为底数 $r$ 的幂的线性组合。

假设一个数 $N$ 在 $r$ 进制下的表示为：$(d_n d_{n-1} \dots d_1 d_0 . d_{-1} d_{-2} \dots)_r$ 其十进制数值的计算公式为：

$$N = \sum_{i=-m}^{n} d_i \cdot r^i$$

展开式：

$$N = d_n \cdot r^n + d_{n-1} \cdot r^{n-1} + \dots + d_0 \cdot r^0 + d_{-1} \cdot r^{-1} + \dots$$

• $r$：基数 (Radix/Base)，如二进制 $r=2$，十进制 $r=10$。
• $d_i$：第 $i$ 位上的数码。
• $r^i$：第 $i$ 位的权重（位权）。

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三、 实例演示

1. 十进制 (Base-10) 展开

数字 1234.5 的构成：

• $1 \times 10^3 = 1000$
• $2 \times 10^2 = 100$
• $3 \times 10^1 = 10$
• $4 \times 10^0 = 4$
• $5 \times 10^{-1} = 0.5$ 合计：$1000 + 100 + 10 + 4 + 0.5 = 1234.5$

2. 二进制 (Base-2) 转换为十进制

将二进制数 1101.1 展开：

$$(1101.1)_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 1 \times 2^{-1}$$$$= 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5 = (13.5)_{10}$$

代码模版

使用场景：

• 需要求每一个数位上的数字
• 需要求数字的长度（例如123是3位数字）

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    long long n;
    cin >> n;

    if (n == 0) cout << 0;
    
    // 逆序输出 (个位 -> 高位)
    while (n > 0) {
        cout << n % 10 << " ";
        n /= 10;
    }

    return 0;
}